% Copyright 2004 by Till Tantau <tantau@users.sourceforge.net>.
%
% In principle, this file can be redistributed and/or modified under
% the terms of the GNU Public License, version 2.
%
% However, this file is supposed to be a template to be modified
% for your own needs. For this reason, if you use this file as a
% template and not specifically distribute it as part of a another
% package/program, I grant the extra permission to freely copy and
% modify this file as you see fit and even to delete this copyright
% notice. 

\documentclass{beamer}
% Replace the \documentclass declaration above
% with the following two lines to typeset your 
% lecture notes as a handout:
%\documentclass{article}
%\usepackage{beamerarticle}


% There are many different themes available for Beamer. A comprehensive
% list with examples is given here:
% http://deic.uab.es/~iblanes/beamer_gallery/index_by_theme.html
% You can uncomment the themes below if you would like to use a different
% one:
%\usetheme{AnnArbor}
%\usetheme{Antibes}
%\usetheme{Bergen}
%\usetheme{Berkeley}
%\usetheme{Berlin}
%\usetheme{Boadilla}
%\usetheme{boxes}
%\usetheme{CambridgeUS}
%\usetheme{Copenhagen}
%\usetheme{Darmstadt}
%\usetheme{default}
%\usetheme{Frankfurt}
\usetheme{Goettingen}
%\usetheme{Hannover}
%\usetheme{Ilmenau}
%\usetheme{JuanLesPins}
%\usetheme{Luebeck}
%\usetheme{Madrid}
%\usetheme{Malmoe}
%\usetheme{Marburg}
%\usetheme{Montpellier}
%\usetheme{PaloAlto}
%\usetheme{Pittsburgh}
%\usetheme{Rochester}
%\usetheme{Singapore}
%\usetheme{Szeged}
%\usetheme{Warsaw}
\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{mathabx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{centernot}


\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\GG}{\mathbb{G}}
\newcommand{\HH}{\mathbb{H}}
\newcommand{\mcd}{\mathsf{mcd}}
\newcommand{\hl}[1]{{\color{brown}#1}}


%\renewcommand{\max}{\mathsf{max}}

\title{Clase 6}

% A subtitle is optional and this may be deleted
\subtitle{Teoría de Números Básica}

\author{Fernando Krell\inst{1}}
% - Give the names in the same order as the appear in the paper.
% - Use the \inst{?} command only if the authors have different
%   affiliation.

\institute[Ponticificia Universidad Católica de Chile] % (optional, but mostly needed)
{
  \inst{1}%
  Departamento de Ciencias de la Computación\\
  Pontificia Universidad Católica de Chile
}
% - Use the \inst command only if there are several affiliations.
% - Keep it simple, no one is interested in your street address.

\date{6 de Abril de 2016}
% - Either use conference name or its abbreviation.
% - Not really informative to the audience, more for people (including
%   yourself) who are reading the slides online

\subject{Teoría de Números}
% This is only inserted into the PDF information catalog. Can be left
% out. 

% If you have a file called "university-logo-filename.xxx", where xxx
% is a graphic format that can be processed by latex or pdflatex,
% resp., then you can add a logo as follows:

% \pgfdeclareimage[height=0.5cm]{university-logo}{university-logo-filename}
% \logo{\pgfuseimage{university-logo}}

% Delete this, if you do not want the table of contents to pop up at
% the beginning of each subsection:
%\AtBeginSubsection[]
%{
%  \begin{frame}<beamer>{Outline}
%    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
%  \end{frame}
%}

% Let's get started
\begin{document}

\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

% Section and subsections will appear in the presentation overview
% and table of contents.
\section{Teoría de Números}

\subsection{Divisibilidad}

\begin{frame}{Divisibilidad}{}
  \begin{itemize}
  \item $ \ZZ=\{0,\pm 1,\pm 2, \pm 3, \dots\} $
  \item $a,b\in\ZZ$, $a$ {\color{red}divide} $b\in\ZZ$ si $\exists \in\ZZ,~ ak =b$
  \item \hl{Notación}: $a \mid b$,  $a\ndivides$ b si $\forall k\in\ZZ,~  ak \neq b$ 
  \item \hl{Ejemplos}: $1\mid b~\forall b\in \ZZ$, $3\mid 27$, $2\nmid 11$
  \item \hl{Observaci\'on}: 
  \[a\mid b \wedge a\mid c \Rightarrow \exists X,Y\in \ZZ,~ a = Xb +Yc\]
  \[\forall a,b\in\ZZ~\exists X,Y\in \ZZ,~ 1 = Xa +Yb\]
  \item \hl{Ejemplo}: $3=6\cdot 2 + -1\cdot15$
  \end{itemize}
  \end{frame}
  
  \begin{frame}{Divisibilidad (2)}{}
  \begin{itemize}
  \item $a$ es \hl{divisor} de $b$ si $a>0$ y $a\mid b$
  \item $a$ es \hl{factor} de $b$ si además $a\not\in \{1,b\}$
  
  {\large\center $p$ es \hl{primo} si no tiene factores!} 
  
  \item $a\in \ZZ, b \in \ZZ^+, \exists! q,r\in\ZZ, 0\leq r< b$
  \[\color{blue}a=qb+r\] 
  \item es posible encontrar $q, r$ en tiempo polinomial (divisi\'on entera).
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Máximo común divisor}{MCD}
  \begin{itemize}
  \item $\mcd(a,b) = \max \{d,~ d\divides a \wedge d\mid b\}$
  \item \hl{Ejemplos}: $\mcd(15,10)=5,~ \mcd(15,0)=15$
  \end{itemize}
  \begin{center}
  \color{blue} $\mcd(a,p)=1\forall p$ primo, $\forall a \in \{1,2,3...,p-1\}$
  \end{center}
  \begin{itemize}
      \item $a$ y $b$ son \hl{primos relativos} si $\mcd(a,b)=1$
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Proposición 1}{}
$\forall a,b \in\ZZ^+$ $\exists X,Y\in\ZZ$ tales que $Xa+Yb = \mcd(a,b)$ y, además
$\mcd(a,b) = \min\{d |d = Xa + Yb > 0\}_{X,Y\in\ZZ}$

\begin{proof}
{\color{brown}
\begin{itemize}
    \item Sea $I\stackrel{\text{def}}{=}\{Xa+Yb > 0\}_{X,Y\in\ZZ}$.
    (notar que $a$ y $b \in I$)
    \item Sea $d=\min(I)=\hat{X}a + \hat{Y}b$, demostremos primero que $d$ divide a \emph{todo} elemento $c$ en $I$.
    \item $c=Xa+Yb$, pero $c = qd + r$ para $r<d$ $\Rightarrow r=Xa + Yb - q(\hat{X}a+\hat{Y}b)$
    \item $r=(X-q\hat{X})a + (Y-\hat{Y}q)b$
    \begin{enumerate}
        \item $r\neq0\Rightarrow$ $d$ no es mínimo en $I$
        \item $r=0\Rightarrow d\divides c$
    \end{enumerate}
    \item Nos falta demostrar que $d$ es máximo. Sea $d'>d$ tal que $d'\divides a \wedge d'\divides b$
    \item $\Rightarrow d'|(\hat{X}a + \hat{Y}b)\Rightarrow d'\divides d$, lo cual es una contradicción pués $d'>d$.
\end{itemize}
}
\end{proof}
\end{frame}
\begin{frame}{Proposición 2}{}
$c\divides ab \wedge \mcd(a,c)=1\Rightarrow c\divides b$. 

Caso especial:Si $p$ es primo y $p\divides ab \Rightarrow p\divides a \vee p\divides b$

\begin{proof}
\begin{itemize}
    \item $c\divides ab\Rightarrow \gamma c=ab$.
    \item $\mcd(a,c)=1\Rightarrow \exists X,Y\in\ZZ$ tales que $1=Xa+Yc$
    \item $\Rightarrow b=Xab+Ycb=X\gamma c + Ybc = (X\gamma + Yb)c$
    \item$\Rightarrow c\divides b$
\end{itemize}
\end{proof}
\end{frame}


\begin{frame}{Proposición 3}{}
$a\divides N \wedge b\divides N\wedge \mcd(a,b)=1 \Rightarrow ab\divides N$. 

Ejemplo, $a=4,b=9$, $4\divides 36$ y $9\divides 36$

\begin{proof}
\begin{itemize}
    \item $ac=N,~ bd=N$ y $1=Xa+Yb\Rightarrow N=XaN + YbN$.
    \item $N=Xabd + Ybac = ab(Xd+Yc)\Rightarrow ab|N$
    \end{itemize}
    \end{proof}
\end{frame}

\subsection{Aritmética Modular}

% You can reveal the parts of a slide one at a time
% with the \pause command:
\begin{frame}{Reducción Módulo N}
\begin{itemize}
  
  \item $r$ es el \hl{resto} de la division entera de $N$ por $a$, $a = qN + r$.
  
  \item \hl{Reducci\'on modular}: Definimos $[a\mod N]$ como el resto $r$, y lo denominamos esta función como reducción módulo $N$.
  
  \item \hl{Observación}: $0\leq [a\mod N] < N$.
  
  \item \hl{Congruencia}. $a$ y $b$ son \hl{congruentes} módulo $N$ ($a = b \mod N$) si $[a \mod N] = [b mod N]$. 
  
  \item \hl{Ejemplo}: 25 es congruente con 4 modulo 21 (denotamos como $25 = 4 \mod 21$)
  
  \end{itemize}
      
\end{frame}

\begin{frame}{Proposición 4}
\begin{center}
 {\color{brown}$a=b \mod N\Leftrightarrow N\divides (a-b)$}
\end{center}

\begin{proof}
\begin{description}
\item[$\Rightarrow$]
$a - q_aN=r_a = r_b = b - q_bN\Rightarrow a-b = N(q_a -q_b)$
\item[$\Leftarrow$]
$N\divides (a-b)\Rightarrow \gamma N = a-b=q_aN + r_a -q_bN - r_b$

Pero $- N< r_a-r_b< N$, por lo tanto si $r_a\neq r_b$, $N$ no es múltiplo de $a-b$, lo cual es una contradicción.
\end{description}

\end{proof}
 
\end{frame}

\begin{frame}{Suma y multiplicación $\mod N$}
  Sean $a = a' \mod N$ y $b = b' \mod N$.
  
  \begin{enumerate}
      \item $a + b = a' + b' \mod N$. $a = q_aN + r_a, b = q_bN + r_b$
      Por lo tanto $a+b = (q_a+q_b)N + r_a + r_b$.
      \item $ab = a'b' \mod N$. Por lo tanto $ab = (q_aq_b)N^2 + (q_a r_b + q_b r_a)N + r_a r_b$.
  \end{enumerate}

\hl{Podemos reducir, luego sumar o multiplicar}

\hl{Ejemplo}: $(16757\times 77789) \mod 7$ $=$ $((16757\mod 7) \times (77789 \mod 7)) \mod 7$ $=$ $6 \times 5 \mod 7=2$ 

\end{frame}

\begin{frame}{División $\mod N$}
\begin{itemize}
 \item \hl{Problema}: Division m\'odulo $N$ no necesariamente esta definida para todo entero. $ab = cb \mod N \centernot\implies a = c\mod N$.
 
 
 \item No necesariamente un entero tiene inverso multiplicativo. 
 
 \item \hl{Ejemplo}: 2 no tiene inverso multiplicativo m\'odulo 4: 
 
 \begin{itemize}
    \item $2\cdot0 \mod 4 = 0$, 
    \item $2\cdot1 \mod 4 = 2$, 
    \item $2\cdot2 \mod 4 = 0$, 
    \item $2\cdot3 \mod 4 = 2$.
 \end{itemize}
 
 \end{itemize}
 
\end{frame}

\begin{frame}{Última Proposición}

%\begin{block}
\hl{
 $b,N\in\ZZ, b\geq 1, N>1$, 
 \[b \text{ tiene inverso multiplicativo} \mod N \Leftrightarrow
\mcd(b,N)=1\]
}
%\end{block}

\begin{proof}
\begin{description}
\item[$\Rightarrow$]
$b\cdot c=1 \mod N, \Rightarrow \exists \gamma\in\ZZ bc-1=\gamma N$ 
$\Leftrightarrow $ $bc-\gamma N=1$ pero 1 es el positivo mas pequeño, por lo que $\mcd(b,N)=1$
\item[$\Leftarrow$]
$\mcd(b,N)=1 \Rightarrow \exists X,Y \in\ZZ$ tales que $Xb +YN = 1\Rightarrow Xb=1 \mod N$, por lo tanto $X=b^{-1}\mod N$

\end{description}
\end{proof}

\hl{Ejemplo}:  $b=8, N=11$, $11\times3 -4\cdot8 =1$ $\Rightarrow$ $-4 \mod 11 = 7$ es el inverso de $8 \mod 11$  
\end{frame}


\begin{frame}{Grupos}

Un grupo $(\GG,\circ)$ esta comuesto por un conjunto $\GG$ y una operaci\'on binaria $\circ$ tales que 

\begin{itemize}
\item $\circ$ es \hl{cerrado} en $\GG$: $g\circ h\in\GG\forall g,h\in\GG$

\item existe elemento \hl{neutro} para $\circ$ (identidad). $\exists e\in \GG,~ g\circ e = e\circ g = g \forall g\in\GG$

\item Elementos tienen \hl{inverso}: $\forall g\in \GG,~ \exists g' \in \GG, g\circ g'=e$
\item \hl{Asociatividad}: $\forall g,h,i\in\GG,~ g\circ (h \circ i) = (g\circ h) \circ i$ 
\item \hl{Commutatividad}: $\forall g,h\in\GG,~g\circ h = h\circ g$
\end{itemize}

Si $\GG$ es finito, entonces decimos que el grupo es finito y su orden es $m=|\GG|$

\end{frame}

\begin{frame}{Exponenciacion}
Sea $m\in \NN$ y $g\in\GG$

\begin{itemize}
\item{Notaci\'on Aditiva}: $m\cdot g=g\circ g\circ \dots \circ g$ 
Afortunadamente, tenemosi las siguientes propiedades:

\begin{align*}
(m+m')\cdot g &= (m\cdot g) \circ (m'\cdot g)\\
(m\times m')\cdot g &= m\cdot(m'\cdot g)\\
(m\cdot g)\circ (m\cdot h) &= m\cdot (g\circ h)\\
\end{align*}
\item{Notaci\'on Multiplicativa}: $g^m=g\circ g\circ \dots \circ g$
\begin{align*}
g^{m+m'} = (m\cdot g) \circ (m'\cdot g)\\
(m\times m')\cdot g = m\cdot(m'\cdot g)\\
(m\cdot g)\circ (m\cdot h) = m\cdot (g\circ h)\\
\end{align*}
\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}{Teorema}
\begin{theorem} Si $\GG$ es un grupo abeliano de orden $m$, entonces $g^m=1\forall g \in \GG$ (en donde 1 es el elemento neutro para $\GG$)
\end{theorem}
\begin{proof}
Sean $g_1, g_2,..., g_m$ todos los elementos de $\GG$.
Sea $g$ un elemento cualquiera de $\GG$.

Notar que si $g\circ g_i = g\circ g_j$, entoces $g_i=g_j$ (podemos aplicar $\circ$ con el inverso de $g$ a ambos lados).

Por lo tanto,
$(g\circ g_1), (g\circ g_1),\ldots,(g\circ g_m)$ es una permutación de $g_1, g_2,..., g_m$.

Entonces, 

\[
(g\circ g_1)\circ (g\circ g_1)\circ\ldots\circ(g\circ g_m) = g_1\circ g_2\circ\ldots\circ g_m
\]

Y concluimos que $g^m=1$ 
\end{proof}

\end{frame}

\begin{frame}{Corolario 1}

\begin{corollary} Sea $\GG$ un grupo de orden $m$, entonces para todo $g\in\GG$, y para todo $x\in\NN$, $g^x = g^{x \mod m}$
\end{corollary}
\begin{proof}
$g^x = g^{k\cdot m + x\mod m} = g^{k\cdot m} \circ g^{x\mod m}$, para algún entero $k$.

Pero $g^{k\cdot m} = (g^{m})^k = 1^k = 1$ 
\end{proof}

\end{frame}

\begin{frame}{Corolario 2}
\begin{corollary}
    Sea $f_e : \GG \rightarrow \GG$ una función definida como $f_e(g) = g^e$.
    $f_e$ es una biyección si $\mcd(e,m)=1$, y más aun, si $d=e^{-1} \mod m$, entonces $f_d$ es su función inversa.
\end{corollary}

\begin{proof}
Basta con demostrar que $f_d(f_e(g)) = g$.

$f_d(f_e(g)) = f_d(g^e) = (g^e)^d = g^{e\cdot d} = g^{e\cdot d\mod m} = g^1=g$
\end{proof}

\end{frame}


\end{document}


